a) Điều kiện : \(x\ge-\frac{3}{4}\)

Xét : \(\sqrt{x+1+\sqrt{x+\frac{3}{4}}}=\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)+2.\sqrt{x+\frac{3}{4}}.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}=\sqrt{\left(\sqrt{x+\frac{3}{4}}+\frac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{x+\frac{3}{4}}+\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow x+\sqrt{x+\frac{3}{4}}+\frac{1}{2}=a\Leftrightarrow\left(x+\frac{3}{4}\right)+\sqrt{x+\frac{3}{4}}-\left(\frac{1}{4}+a\right)=0\)

Đặt \(y=\sqrt{x+\frac{3}{4}},y\ge0\). pt trên trở thành \(y^2+y-\left(a+\frac{1}{4}\right)=0\)

 Để pt có nghiệm theo y thì \(\Delta=1^2+4.\left(a+\frac{1}{4}\right)=2\left(2a+1\right)\ge0\Leftrightarrow a\ge-\frac{1}{2}\)

Khi đó : \(x_1=\frac{-1-\sqrt{2\left(2a+1\right)}}{2}\), \(x_2=\frac{-1+\sqrt{2\left(2a+1\right)}}{2}\)

b: \(\text{Δ}=\left(2m+3\right)^2-4\left(4m+2\right)\)

\(=4m^2+12m+9-16m-8\)

\(=4m^2-4m+1=\left(2m-1\right)^2>=0\)

Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm

Theo đề, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x_1-5x_2=6\\x_1+x_2=2m+3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x_1-5x_2=6\\2x_1+2x_2=4m+6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-7x_2=-4m\\2x_1=5x_2+6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=\dfrac{4}{7}m\\2x_1=\dfrac{20}{7}m+6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=\dfrac{4}{7}m\\x_1=\dfrac{10}{7}m+3\end{matrix}\right.\)

Theo đề, ta có: \(x_1x_2=4m+2\)

\(\Rightarrow4m+2=\dfrac{40}{49}m^2+\dfrac{12}{7}m\)

\(\Leftrightarrow m^2\cdot\dfrac{40}{49}-\dfrac{16}{7}m-2=0\)

\(\Leftrightarrow40m^2-112m-98=0\)

\(\Leftrightarrow40m^2-140m+28m-98=0\)

=>\(20m\left(2m-7\right)+14\left(2m-7\right)=0\)

=>(2m-7)(20m+14)=0

=>m=7/2 hoặc m=-7/10

a, \(\Delta=m^2-4\left(-4\right)=m^2+16\)> 0 

Vậy pt luôn có 2 nghiệm pb 

b, Theo Vi et \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=-4\end{matrix}\right.\)

Ta có \(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=5\)

Thay vào ta được \(m^2-2\left(-4\right)=5\Leftrightarrow m^2+3=0\left(voli\right)\)

a) Phương trình có nghiệm bằng 1 khi \(1+a-4-4=0\)

\(\Rightarrow a=7\)

b) Khi a = 7 thì phương trình trở thành \(x^3+7x^2-4x-4=0\)

\(\Leftrightarrow-x^3-7x^2+4x+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(-x^3-8x^2-4x\right)+\left(x^2+8x+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow-x\left(x^2+8x+4\right)+\left(x^2+8x+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(1-x\right)\left(x^2+8x+4\right)=0\)

+) 1 - x = 0 thì x = 1

+) \(x^2+8x+4=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+8x+16-12=0\Leftrightarrow\left(x+4\right)^2=12\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+4=\sqrt{12}\\x+4=-\sqrt{12}\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{12}-4\\x=-\sqrt{12}-4\end{cases}}\)

Vậy phương trình có 3 nghiệm \(\left\{1;\pm\sqrt{12}-4\right\}\)

Đặt \(\sqrt{1-x^2}=t\Rightarrow t\in\left[0;1\right]\)

Pt trở thành:

\(1-t^2+t=m\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=-t^2+t+1\) trên \(\left[0;1\right]\)

\(-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{1}{2}\in\left[0;1\right]\)

\(f\left(0\right)=1\) ; \(f\left(1\right)=1\); \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{5}{4}\)

\(\Rightarrow1\le f\left(t\right)\le\dfrac{5}{4}\Rightarrow\) pt có nghiệm khi \(m\in\left[1;\dfrac{5}{4}\right]\)